这个东西的英文叫the Greeks of european call option。 上课的时候老师没好好算出来，查了几本书基本只有答案和解释。 我要是想当然的只知道结果的话，以后类似的计算还是不会，关键是这个东西很重要。 今晚终于看出了点眉目，其实是一个很简单的问题。
设C是买方期权的价值，T是行使时限，K是行使价，N是标准正态分布的累积分布函数，n是标准正态分布的密度函数，以下公式很多书上都有，理解后也比较好推算：
$C(t,x)=xN(d_1)-e^{-r(T-t)}KN(d_2)$
其中：
$d_1=\frac{\log \frac{x}{K}+(r+\frac{\sigma^2}{2})(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}$
$d_2=\frac{\log \frac{x}{K}+(r-\frac{\sigma^2}{2})(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}$
下面我主要演示以下那些Greeks怎么来的。

1. Delta值：衡量标的资产价格变动时，期权价格的变化幅度。
   $\Delta=\frac{\partial C}{\partial x}=N(d_1)+xn(d_1)\frac{\partial d_1}{\partial x}-e^{-r(T-t)}Kn(d_2)\frac{\partial d_2}{\partial x}$
   事实上我们有:
   $\frac{\partial d_1}{\partial x}=\frac{\partial d_2}{\partial x}$
   $xn(d_1)=e^{-r(T-t)}Kn(d_2)$
   这第二个等式很重要，两边同时求对数即可验证其正确性：
   $\Longleftarrow\log x-\frac{d_1^2}{2}=-r(T-t)+\log K-\frac{d_2^2}{2}$
   $\Longleftarrow\log \frac{x}{K}+r(T-t)=\frac{(d_1+d_2)(d_1-d_2)}{2}$
   综上所述： $\Delta=N(d_1)\geq 0$，这个结果并不是看到显式的x的系数是这个而想象直接看出来的。
   这个值也是有风险资产的hedge比率。
2. Gamma值:衡量标的资产价格变动时，期权Delta值的变化幅度。
   这个算起来很简单了：
   $\Gamma=\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}=\frac{\partial N(d_1)}{\partial x}=n(d_1)\frac{\partial d_1}{\partial x}=n(d_1)\frac{1}{\sigma x \sqrt{T-t}}\geq 0$
   二阶导大于零可以看出，期权价值是标的资产的凸函数。
3. Vega：衡量标的资产价格波动率变动时，期权价格的变化幅度。
   有了Delta值的计算过程，算Vega（这个不是希腊字母）也就不在话下了。
   $V=\frac{\partial C}{\partial \sigma}=xn(d_1)\frac{\partial d_1}{\partial \sigma}-e^{-r(T-t)}Kn(d_2)\frac{\partial d_2}{\partial \sigma}$
   $=xn(d_1)\frac{\partial (d_1-d_2)}{\partial \sigma}$
   $=xn(d_1)\sqrt{T-t}\geq 0$
4. Theta：衡量随着行使期限的变化，期权价格的变化幅度。
   $\Theta=\frac{\partial C}{\partial T}=xn(d_1)\frac{\partial(d_1-d_2)}{\partial T}+r e^{-r(T-t)}KN(d_2)$
   $=\frac{x\sigma}{2\sqrt{T-t}}n(d_1)+r e^{-r(T-t)}KN(d_2)\geq 0$
5. Rho：衡量利率变动时，期权价格的变化幅度。
   $\rho =\frac{\partial C}{\partial r}=xn(d_1)\frac{\partial (d_1-d_2)}{\partial r}+(T-t)e^{-r(T-t)}KN(d_2)$
   $=(T-t)e^{-r(T-t)}KN(d_2)\geq 0$

整个计算的关键就是Delta那里的某个等式。