我的总算把目前三种主要方法的高维通用程序编完了。其中Stochstic Mesh方法涉及到了多维几何布朗运动的条件密度函数，很简单基础的东西，记在这里。不过我不知道是不是这样翻译成中文，反正搜不到，总之就是Geometric Brownian Movements(GBM)。这个随机过程满足以下微分方程：
$dS_t=S_t((r-\mu)dt+\Gamma dW_t)$
其中 $S_t$是一个n维列向量， $\Gamma$是一个n×d维矩阵， $W_t$是一个d维列向量的Wiener过程，且其分量相互独立。这就是Black Scholes模型的多维形式。用Ito公式处理 $\log S_t$可以知道(记住这是个向量)：
$d\log S_t=C dt+\Gamma d W_t$，其中C是一个n维列向量，它的第i个分量是这样的：
$C_i=r-\mu-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{d}\sigma_{ij}^{2}$，这里的 $\sigma_{ij}$就是 $\Gamma$第i行第j列的元了。
设 $t_2-t_1=\Delta \geq 0$，我们有：
$\log S_{t_2}= \log S_{t_1}+C \Delta+\Gamma \cdot \sqrt{\Delta} \cdot \mathcal{N}(0,Id_d)$
所以：
$\log S_{t_2} \sim \mathcal{N}\bigg(\log S_{t_1}+C \Delta, \quad \Delta\cdot \Gamma\Gamma^t\bigg)$
所以在已知 $\log S_{t_1}=X$的前提下， $\log S_{t_2}=Y$是遵循以下密度函数的：
$f(X,Y)=\bigg((2\pi)^{\frac{n}{2}} \sqrt{\det(\Delta\cdot \Gamma\Gamma^t)}\bigg)^{-1} \exp \bigg[-\frac{1}{2}(Y-X-C \Delta)^{t}(\Delta\cdot \Gamma\Gamma^t)^{-1}(Y-X-C \Delta)\bigg]$
通过简单的积分时的变量替换即可知道 $S_{t_1}=X$的前提下， $S_{t_2}=Y$是遵循以下密度函数的：
$f(X,Y)=\bigg((2\pi)^{\frac{n}{2}} \sqrt{\det(\Delta\cdot \Gamma\Gamma^t)} \prod_{i=1}^{n}Y_i\bigg)^{-1} \exp \bigg[-\frac{1}{2}(\log Y-\log X-C \Delta)^{t}(\Delta\cdot \Gamma\Gamma^t)^{-1}(\log Y-\log X-C \Delta)\bigg]$
以上推理可能并不严密，不过结果是正确的，知道这两个东西，什么就都知道了。
顺便说一句如果n=d，且 $\Gamma$非奇异，则complete且arbitrage-free..........